Entropía y el principio holográfico

¿Y si viviéramos en un holograma? O más bien, ¿y si pudiéramos entender el Universo como un holograma? En este post vamos a mezclar la termodinámica, la relatividad y la cuántica para hablar de una nueva forma de entender el Universo. ¡Empecemos! 

Primero tendremos que definir qué es un holograma.

Un holograma es un objeto de dos dimensiones (como un folio) que al mirarlo vemos una imagen tridimensional, en 3D. Lo gracioso de los hologramas es que contienen en una superficie toda la información necesaria para generar el objeto en tres dimensiones, pero si nos fijamos únicamente en la superficie, no podemos ver nada parecido a la imagen que genera. Esto es porque esa información se encuentra distribuida por toda la superficie y el objeto tridimensional sólo aparece al proyectar luz sobre ella.

Esto nos sugiere que tal vez las dimensiones del espacio no sean tan importantes como creemos, sino que lo importante es la información. ¿Y si nuestra realidad tridimensional no fuera más que un holograma? El Universo en volumen que conocemos sería una manifestación de la información contenida en un Universo superficial.

Bueno, antes de abordar esta idea, tenemos que hablar un poco de termodinámica.

Entropía

La entropía es un concepto que nace en el seno de la termodinámica y que es tremendamente complejo de entender. Una primera definición intuítiva sería:

<< La entropía nos da cuenta del grado de desorden de un sistema. >>

O dicho de otra forma, la entropía nos habla del grado de dispersión de la energía en un sistema. Algo que estaba concentrado en un punto acaba repartido por todo el espacio: ha aumentado el desorden y, por tanto, la entropía. Además, tenemos el segundo principio de la termodinámica, que nos dice que la energía tiende a disiparse, es decir, de pasar de formas más últiles a otras menos útiles. Esto lo conocemos todos, al saber  que cualquier motor se calienta y ese calor es energía disipada, energía perdida, irrecuperable. O en forma de enunciado formal:

<< La entropía de un sistema cerrado sólo puede aumentar o permanecer constante. >>

Esta es la segunda ley de la termodinámica. Cualquier cuerpo con temperatura, tiene entropía. 

Sin embargo, Boltzman nos da una nueva definición de entropía íntimamente ligada a la física estadística, que vendría a decir algo como:

<< La entropía es el número de microestados compatibles con cada macroestado de un sistema. >>

Y esto, ¿qué quiere decir? Veamos, si tienes un gas en una caja a una cierta temperatura, presión, energía interna...  Esas mediciones caracterizan el macroestado del gas. Pero sabemos que el gas está formado por muchas partículas, y cada una de ellas tendrá valores diferentes de las variables que las caracterizan. Cada combinación de los estados  posibles de cada partícula que forma el gas es lo que llamamos un microestado. Varios microestados serán compatibles con el mismo macroestado. El macroestado con más microestados compatibles será el más probable y por tanto el sistema evolucionará hacia éste. Entonces, el sistema evolucionará hacia el estado más probable o lo que es lo mismo, hacia el estado de mayor entropía, por lo que se sigue cumpliendo el segundo principio de la termodinámica.

Pero ademas, podemos hacer una tercera definición de entropía:

<< La entropía es información. >>

Es cierto que nosotros al medir, no medimos las propiedades de cada partícula, sino las propiedades del macroestado, pero como el macroestado dependende de los estados de las partículas que los conforman, toda la información sobre cada partícula se ve reflejada en nuestras mediciones, aunque no podamos acceder a ellas. Ya que cada partícula almacena la información necesaria sobre sí misma, la entropía de un sistema nos dice cuánta información hay almacenada en éste. Y la información debe de conservarse.

Agujeros negros 

Llegados a este punto, es interesante hablar de agujeros negros. Primero, porque son lugares del Universo donde, a priori, podemos pensar que se pierde información, ya que todo lo que cae en él no vuelve a salir, incluida la luz. Segundo, porque en términos de física estadística, es un sistema tremendamente simple y, por tanto, sencillo de estudiar. Un agujero negro es un macroestado que se caracteriza con tres números: su masa, su carga y su momento angular. Todo lo concerniente a los microestados no es relevante, y si lo fuera, tampoco tendríamos acceso a esa información, porque una vez se cruza el horizonte de sucesos, esa información se pierde, no podemos saber qué hay dentro de un agujero negro. Una tercera razón para estudiar los agujeros negros es que es la combinación perfecta de campos gravitatorios muy fuertes y, ya que toda su materia ha acabado en un punto, efectos cuánticos apreciables.

Y eso es lo que estamos buscando aquí, una nueva teoría que nos combine relatividad general con mecánica cuántica, que hasta ahora se creen incompatibles.

Si tiramos una nave espacial a un agujero negro, la entropía de la nave se perdería al cruzar el horizonte de sucesos y entonces el Universo se quedaría con menos entropía que antes. Esto violaría el segundo principio de la termodinámica. Aquí es donde comienza la historia del principio holográfico, intentando salvar la segunda ley de la termodinámica.

Hawking demostró en la década de 1970 que el área de los agujeros negros sólo podía mantenerse igual o aumentar. ¿Te suena? Siguiendo esta pista, Jacob Bekenstein en 1973 definió la entropía de un agujero negro. Pensó cual era la unidad mínima de energía que se le podía dar de comer a un agujero negro (la partícula elemental sin carga más pequeña) y concluyó que se correspondía con el menor incremento posible de su área (del orden del área de Planck). Si el incremento de área mínimo se da al comerse la mínima energía, y si las partículas elementales contienen toda la información referente a sí misma, esto quiere decir que:

<<El mínimo incremento de área posible de un agujero negro equivale a la mínima unidad de información existente (un bit).>>

Entonces, hay una relación directa entre la superficie del agujero negro y la cantidad de información que se ha tragado. Y la parte importante aquí es que esa relación se da con la superficie, no con el volumen. Es decir, tenemos en una superficie (2 dimensiones, como un folio), toda la información que hay dentro de un volumen (3 dimensiones). ¡Es decir, lo que tenemos es un holograma! La información de lo que contiene un agujero negro se queda diluida en su superficie, esto es, en el horizonte de sucesos. El problema es que están tan diluida que no podemos recuperarla. Y recordemos que la entropía es información.

Los agujeros negros, pues, no solo tiene entropía, es decir, información, sino que es proporcional a su área y a un bit de información le corresponde un área del orden del área de Planck, así que acumulan una ingente cantidad de información. Para hacernos una idea, en el Universo visible hay uno 10⁸⁰ bariones y por cada barion los agujeros negros guardan, en su conjunto, miles de trillones de bits de información.

<<El principio holográfico nos dice que la información contenida en un cierto volumen del espacio está contenida en su superficie.>>

Es como si nos dijeran que nos bastaría con el papel de regalo para saber toda la información de lo que hay dentro del paquete.

Ejemplo de holograma: Espacio AdS/CFT

El único ejemplo perfectamente definido  y específico hasta hora de holografía lo dió un físico argentino apellidado Maldacena. Se fijó en un tipo particular de espacio-tiempo: el  AdS (Anti-de Sitter) y la combinó con una teoría cuántica de campos llamada CFT (teoría conforme de campos). Si representamos en una proyección finita esta combinación, aparece algo como ésto:

 Créditos: francis.naukas.com

Podemos imaginarlo como una esfera con un patrón de figuras dibujado en su superficie. Si podemos ver la esfera, es decir, el volumen, todas las figuras del patrón son del mismo tamaño. Sin embargo, si queremos representar la esfera en un plano, lo que vemos es un círculo como en la figura: al mirar desde arriba la esfera, nos parecería que en el disco que vemos los dibujos se hacen más pequeños conforme nos vamos a los bordes. Tendremos un espacio-tiempo curvo en el interior de la esfera, en su volumen (AdS), cuya frontera es la superficie o el espacio plano de la relatividad especial, donde sí funciona la cuántica. Si podemos demostrar que lo que ocurre en la frontera es equivalente a lo que ocurre en el interior, tendremos un holograma, ya que la frontera es una superficie (2D+tiempo) y el interior es un volumen (3D+tiempo). 

Pero sí que hemos perdido información al pasar del volumen al plano, hemos perdido la apreciación del radio de curvatura, ¿no?. Bueno, en realidad, tal y como pasa en el dibujo, no tenemos manera de saber cómo está curvado ese plano fuera de la superficie que lo contiene, pero sí sabemos que las figuras tienen diferentes tamaños. De manera que si vemos que las figuras son pequeñas en el plano, podemos asociarlo a que en el volumen estamos a una distancia bastante grande del centro. Sin embargo, si en el plano vemos que las figuras son grandes, podremos saber que en el volumen estamos cerca del centro. Por lo que no perdemos información, simplemente la codificamos de manera diferente.

Es un ejemplo claro de que se puede contener toda la información referente a un volumen en una superficie, es decir, un holograma.

Experimento casero

Para terminar, un pequeño ejemplo de como ver la gravedad no como una fuerza ni una deformación del espacio-tiempo, sino como una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica:

Si tenemos un plato con algunos guisantes dispersos y damos golpecitos en la mesa, podremos observar que, poco a poco, los guisantes se van juntando. Pareciera que los guisantes se atraen gravitacionalmente entre sí. Pero lo que realmente ocurre podemos expresarlo de tres manera diferentes y equivalentes entre sí:

1. Las configuraciones con grumos son más probables que las configuraciones sin grumos. 
2. Hay un mayor número de microestados compatibles con el macroestado de los guisantes aglomerados que sin aglomerar. 
3. La entropía es mayor para los guisantes aglomerados, por tanto, el sistema evoluciona hacia los estados de mayor entropía.

Esta es una manera muy sencilla de ilustrar la idea radical que publicó en 2010 Erik Verlinde: la gravedad no existe, es el efecto de combinar la holografía con las leyes de la termodinámica.

Conclusión

Como conclusión, se tiene la sensación de que el principio holográfico, junto con otros avances cuánticos, nos llevará a una nueva teoría donde el espacio y el tiempo emergen de una estructura más fundamental. De momento no hay una respuesta, pero cada vez parece haber más consenso en que el espacio, el tiempo y la gravedad no son fundamentales, sino que surgen de otra manera de codificar la información. 

Derivando voy, derivando vengo.

A menudo cuando estudiamos matemáticas, el pensamiento que nos viene más de una vez a la cabeza es '¿Y ésto para qué?'. Como las matemáticas son el lenguaje de la física, hoy vamos a coger un concepto matemático y lo llevaremos hasta sus últimas consecuencias físicas: el concepto de derivada.

Empezaremos por lo básico. Igual que la suma es una operación que se le aplica a, por ejemplo, dos números, la derivada es una operación que se le aplica a las funciones. 

• Una función es una expresión matemática que nos relaciona objetos. Por ejemplo: en la expresión y=x+1 cuando x=1 nos relaciona el objeto x=1 con el objeto y=2 (basta con sustituir en la expresión la x por 1 y hacer la operación indicada, en éste caso y=1+1=2). Y así con todos los valores que queramos darle a la x. Así pues, y es lo que llamamos una función, en la que su variable independiente es la x, ya que su valor lo damos nosotros, no depende de nada; y su variable dependiente es la y, ya que su valor depende del valor que le hayamos dado a la x. Puesto que y depende del valor de x, también podemos escribir  como f(x) y la función nos quedaría f(x)=x+1

También podemos despejar y tener x=y-1, de manera que ahora y es la variable dependiente, x la independiente, nos quedaría f(y)=y-1, pero seguimos relacionando los mismos elementos.

Las ecuaciones que nos enseñaban en el instituto en física son, al fin y al cabo, funciones que nos relacionan magnitudes que observamos o medimos (serán nuestras variables independientes) con otras que no podemos medir directamente (que serán nuestras variables dependientes), mediante las expresiones correspondientes.

• Si nos vamos a los libros, veremos que la definición matemática de lo que es una derivada nos viene dado con una cosa tan abstracta como ésto:

Traduciéndolo, viene a decir algo así como que la derivada de una función en un punto a es lo que vale la función en cualquier punto x menos lo que vale la función en el punto a, dividido entre la distancia de cualquier punto al punto a y todo ello llevado al caso límite en el que cualquier punto x es muy muy proximo al punto a, sin llegar a serlo.

¡¿Ein?!

No entremos en pánico todavía, porque todo ésto puede expresarse en lenguaje coloquial como:

La derivada de una función es la expresión que nos dice cómo cambia esa función conforme hacemos pequeños cambios en una de sus variables.

Para ver qué aplicaciones tiene el concepto de derivada, nos ayudarán Pepe y María: María sale de su casa a las 20.30h en coche. Ha quedado en recoger a Pepe en la suya, que está a 4km de la de María, para ir al cine a ver una película que empieza a las 21.00h. El cine está a 7km de la casa de Pepe. Es decir, María, que está a las 20.30h en su casa, tiene que llegar al cine a las 21.00h, y para pasar de un lugar a otro habiendo recogido a Pepe tiene que recorrer 11km.

Tendremos una función que nos da la posición de María con respecto al tiempo t: x(t). Gracias a esta función, podremos saber donde está María en cada momento. Por ejemplo, sabemos que a las 20.30h María estará en la posición que corresponde a su casa. Pero, ¿qué pasa cuando María empieza a moverse? Cuando avanzamos en el tiempo, María comienza su camino hacia la casa de Pepe, cambiando su posición en cada instante.

• Para conocer cuánto cambia de posición María, nos basta con x(t): en t=20.30h su posición será x=0 y que en t=21.00h su posición será x=11 (estará en el cine). Restando las dos posiciones sabemos que María se ha movido 11km.
• Para saber cómo se ha movido María necesitamos conocer no sólo cuánto cambia x(t), sino también cómo lo hace. Si recordamos lo que hemos dicho antes, la derivada es lo que nos permite conocer cómo cambia la función x(t) conforme hacemos pequeños cambios. 

Así pues, lo que necesitamos es la derivada de nuestra función posición, que matemáticamente se expresa así:

La derivada de la función posición conforme hacemos pequeños cambios en el tiempo, conforme avanza el tiempo, es lo que comúnmente conocemos como velocidad v(t).

El significado físico de derivar una vez la función posición con respecto al tiempo es la velocidad. 

Con los datos del ejemplo, a una velocidad constante de 20km/h María tardará 12 minutos en llegar a casa de Pepe, es decir a las 20.42h. María le avisa y Pepe le dice que enseguida baja pero en realidad está metiéndose en la ducha. Hasta las 20.55h Pepe no se monta en el coche y María arranca hasta volverse a poner a una velocidad constante de 20km/h, pero hace cuentas y deduce que si hace el resto del trayecto a esa velocidad no llegarán a tiempo a la película. ¿Qué debe hacer para llegar? Ir más rápido, es decir, modificar su velocidad. Esto ya nos suena.

Al igual que antes con la posición, si ahora queremos saber cómo tiene que modificar su velocidad tendremos que derivar la velocidad. La derivada de la velocidad nos dará cómo cambia ésta conforme hacemos pequeños cambios en el tiempo, y a ésto comúnmente se le llama aceleración a(t).

El significado físico de derivar dos veces la posición con respecto al tiempo es la aceleración.

Y ahora que sabemos qué son exactamente la velocidad y la aceleración, vamos a llevarlo hasta las últimas consecuencias. 

Para la siguiente vez que quedan para ir al cine, María sigue enfadada por la tardanza de Pepe, así que esta vez deciden ir cada uno en su coche: Ambos salen de su casa a la misma hora, pero María se mueve a una velocidad constante de 20km/h y Pepe lo hace a 30km/h. Es decir, Pepe se mueve a 10km/h respecto de María. Y ambos ven una moto. 

Si echamos una foto, es decir, paramos el tiempo, veremos ésto:

Hay dos maneras de definir pues la posición de la moto respecto a María (O):

• Midiendo directamente la posición desde María hasta la moto (gris): p=r+vt
• Midiendo la posición desde María hasta Pepe y luego desde Pepe hasta la moto y sumarlos: (naranja+rojo): p=P+p', es decir p=R+Vt+r'+v't

Pero en lo que todos estaremos de acuerdo es en que, lo midas como lo midas, la posición de la moto respecto a María es la que es, con lo cual ambas maneras de hacerlo tienen que dar el mismo resultado. Ésto significa que podemos igualar ambas formas:

r+vt=R+Vt+r'+v't

Y ahora vamos a seguir aplicando el concepto estrella de hoy: vamos a derivar esta ecuación posición respecto del tiempo. Para ello tendremos en cuenta que:

• r, R y r' son posiciones iniciales, es decir, donde estaban María, Pepe y a moto antes de que el tiempo empezase a discurrir, por lo tanto no dependen del tiempo, así que su derivada será 0
• La derivada de vt será v (y así con Vt y v't) 

Por lo tanto nos quedará:

v=V+v'

Eso significa que María no verá la misma velocidad de la moto si la mide por un camino o por otro. 

Bueno, vamos a derivar otra vez. Ahora derivamos la ecuación velocidad respecto del tiempo, a ésto le habíamos llamado antes aceleración y lo definíamos como pequeños cambios en la velocidad. Pero como habíamos dicho que Pepe se mueve a una velocidad constante respecto a María, esa velocidad (que hemos llamado V), no sufrirá cambios. Si no cambia, su derivada será cero, así que nos queda:

a=a'

Eso significa que María, mida por el camino que mida la aceleración, la verá igual.

La velocidades dependen de cómo se midan, son relativas; mientras que las aceleraciones no depende de cómo se mida, son absolutas.

Lo que hemos hecho es desplazar el sistema de referencia de Pepe paralelamente al del María y a velocidad constante. Este tipo de desplazamientos de llaman Transformaciones de Galilei y junto con las rotaciones y las traslaciones espaciales o temporales conforman el grupo de simetría de la mecánica newtoniana, que se llama Grupo de Galilei. Es una demostración de cómo la física y las matemáticas se entrelazan: a base de experimentación y de expresar los resultados matemáticamente de forma rigurosa puedes terminar descubriendo simetrías matemáticas subyacentes que le dan sentido a la física y te confirman que vas por buen camino.

 

 

Singularidades (Minkowski III)

Con esta tercera entrada cerramos el capítulo de Minkowski. Recordemos lo que ya sabemos:

• Qué es el espacio-tiempo y cómo se definen sus habitantes (Recuérdalo aquí)
• Cómo se comporta el espacio-tiempo en presencia de masa (Recuérdalo aquí)

Ahora ya estamos preparados para hablar de singularidades. Una singularidad es un punto del espacio en el que el comportamiento de la física es extraño o simplemente nuestras ecuaciones no son evaluables en ese punto, por lo que no nos pueden dar información sobre lo que pasa en él. Por ejemplo, si tenemos la función:

Si damos valores a la x, podemos saber cuanto vale en ese punto: si x=2, la función cale 1; si x=1, la función vale 0,5... Pero, ¿qué pasa si x=0? Pues como no se puede dividir por 0, no tenemos forma de saber cuánto vale la función en 0. Es decir, x=0 es una singularidad.

¿Existe algo parecido en el espacio-tiempo? ¿Hay singularidades en el espacio de Minkowski? Efectivamente, las hay, y podemos dividirlas en dos tipos:

• Singularidad de coordenadas: son simplemente un efecto del sistema de coordenadas que hemos elegido. Estas singularidades pueden evitarse simplemente eligiendo otro sistema de coordenadas. Por ejemplo:

                                

 Para calcular el potencial gravitatorio de una masa Q usamos la ecuación:

Si usamos las coordenadas esféricas y queremos calcularlo en el punto r=0 (distancia a la masa=0), igual que antes, como no se puede dividir por cero, tendremos una singularidad. Es decir, no podemos saber cuánto vale el potencial en ese punto. Sin embargo, si hacemos un cambio de coordenadas y pasamos a cartesianas, r ahora vale la raíz cuadrada de la suma de x, y, z al cuadrado, es decir, r ahora es diferente de 0 y por tanto ya podemos calcular el potencial:

Las singularidades de coordenadas pueden 'esquivarse' haciendo un cambio de sistema de coordenadas.

• Singularidad física:es una singularidad real. En el espacio-tiempo, ésto se traduce como un agujero negro. 

Si repasamos esta entrada, recordamos que un agujero negro es el final de la vida de una estrella muy masiva. Cuando estas estrellas dejan de producir energía no hay nada que contrarreste el colapso y empiezan a comprimir toda su masa en un espacio cada vez más pequeño, es decir, aumentando mucho su densidad.

¿Cómo afecta ésto al espacio-tiempo? Recurriendo una vez más a la metáfora de la sábana, si nos lo imaginamos de perfil podemos ver como se 'hunde', se deforma, conforme avanza el colapso de la estrella moribunda:

Al mantenerse siempre su gran masa constante, pero reducirse su volumen, la densidad aumenta y la presión sobre el espacio-tiempo es cada vez mayor, haciendo la deformación cada vez más y más prominente. Veamos ahora cómo se representa ésto en el espacio de Minkowski. Para ello nos hará falta conocer las Ecuaciones de Einstein de la Relatividad General:

                                                           

Esta ecuación fue el culmen del trabajo de Einstein en cuanto a la Relatividad. Son en realidad 10 ecuaciones que relacionan la geometría del espacio-tiempo con la energía y materia que contiene. Con ella, y sabiendo la masa y el radio de una singularidad, Karl Schwarzschild (Alemania 1873-1916) encontró una solución para la ecuación anterior y pudo, por tanto, describir la geometría del espacio-tiempo. Es decir, pudo describir cómo se deformaría el espacio-tiempo en presencia de un objeto de densidades muy elevadas. Si lo dibujamos, sería algo así:

                            

La singularidad está en r=0 y perdura en el tiempo. Observamos que lejos de ella, el espacio-tiempo no está deformado, y nuestros conos de luz se encuentran como siempre, enfocados hacia arriba. Sin embargo, conforme nos acercamos a la singularidad, las líneas que describen la forma del espacio-tiempo se van deformando, se van curvando, y los conos de luz quedan cada vez más inclinados hacia ella.

Esto quiere decir que conforme más nos acercamos a la singularidad, más enfocado está nuestro futuro hacia ella y menos probabilidades tendremos de avanzar hacia un futuro que la esquive.

Schwarzschild encontró que hay un punto de 'no retorno', llamado radio de Schwarzschild, que será igual a dos veces la masa de la singularidad. Una vez cruzamos esa frontera, el espacio-tiempo está tan deformado que nuestro cono de luz apunta completamente a la singularidad. 

La singularidad es inevitable, se encuentra irrevocablemente en nuestro futuro.

¿Qué quiere decir ésto? Viajemos en nuestra nave espacial en dirección al agujero negro y vayamos emitiendo pulsos de luz. Conforme nos acercamos, a nuestros pulsos de luz cada vez les cuesta más trabajo salir en dirección contraria al agujero negro. Una vez que cruzamos el radio de Schwarzschild ningún pulso de luz podrá salir. Recordemos que la velocidad de la luz es una velocidad límite, que no podíamos salirnos de nuestro cono de luz. Si la luz no puede escapar a la singularidad, nada puede hacerlo, porque nada puede viajar más rápido que la luz.

Si no puede salir nada, a un observador que esté fuera de la singularidad no le llegará nada, ningún tipo de señal que pueda ver o medir. Es decir, para quien esté fuera de la singularidad, lo único que verá será un hueco negro, un agujero negro.

Si os estáis preguntando a donde va la masa de esa enorme estrella que se comprime, o toda la masa y la energía que cae dentro del agujero negro, qué es lo que pasa dentro, no podemos responderte. Por la misma razón por la cual al principio de este post no podíamos saber cómo era nuestra función en x=0, justo en el agujero negro no podemos saber qué pasa, porque nuestras ecuaciones no se pueden resolver.

Un agujero negro es una singularidad en el espacio de Minkowski.

El 10 de Abril de 2019 se obtuvo por primera vez una imagen real de un agujero negro situado en la galaxia M87:

Credit: ESA (Event Horizont Telescope)

• Masa: 6.5 billones de veces la masa solar
• Diámentro: 40 billones de km
• Distancia a La Tierra: 500 millones de trillones de km

El anillo brillante es materia y luz que orbita el agujero negro y va cayendo en él. El radio del hueco negro que vemos en el centro se corresponde con el radio de Schawarzschild. El borde de ese hueco negro, justo la última línea en la que se puede percibir alguna señal, se llama horizonte de sucesos.

<<Einstein se equivocaba cuando decía que "Dios no juega a los dados con el universo". Considerando las hipótesis de los agujeros negros, Dios no sólo juega a los dados con el universo: a veces los arroja donde no podemos verlos>> - Stephen Hawking.

El escenario espacio-temporal (Minkowski II)

Ahora que ya sabemos orientarnos y movernos por el espacio-tiempo (si te lo has perdido, pincha aquí), cabe preguntarse cómo se vive dentro. ¿Ven lo mismo y a la misma vez todos los observadores?

Vamos a hacer un pequeño experimento mental. Imaginemos que Pepe está en una nave espacial  viajando dentro de su cono de luz cuando, de repente, María le adelanta con otra nave a una cierta velocidad V (que se calcula como V=tg(v) ). Pepe será el observador O, y María el observador O'. Ésto se representaría de la siguiente forma:

Como la velocidad de la luz (c) es constante y la misma tanto para uno como para otro, y dado que María lleva una velocidad V respecto de Pepe, los ejes de coordenadas para María deben ser simétricos con c y a su vez tener un ángulo v respecto a los de Pepe.

Ahora imaginemos que ambos observadores ven ocurrir dos eventos (a y b). ¿Cómo los ven?

Como veis, para Pepe ambos eventos ocurren en el mismo tiempo, es decir, son simultáneos. Sin embargo, para María no lo son, ocurren en dos tiempos diferentes. Los eventos son los mismos, pero las coordenadas tanto temporales como espaciales no son las mismas para ambos. 

La física es la misma, pero el camino por el que el llegamos a las conclusiones no tiene por qué serlo.

Pongamos un ejemplo para que se entienda mejor: si suelto una pelota desde un tercer piso, la veré caer y diré que la pelota es atraída gravitacionalmente por la Tierra. Si Spiderman está colgando boca abajo en el edificio de enfrente observando, verá que la pelota flota hacia arriba, pero también concluirá que es porque la Tierra, que también la ve arriba, la atrae.

Con ésto ya hemos dejado patente que no todos los observadores ven lo mismo ni a la misma vez, sino que depende de su sistema de referencia, es decir, de las velocidades relativas entre ellos. 

¿Significa esto que el espacio-tiempo es un mero escenario pasivo donde ocurren cosas y que nuestra percepción de esas cosas depende únicamente de cómo nos movemos por ese escenario? Pues no. Como diría el Dr. Frankenstein, ¡está vivo! Y es que el espacio-tiempo no es sólo escenario, sino que es también uno de los protagonistas e interactúa con todo aquello que contiene, por ejemplo, la masa.

Vamos ahora a utilizar una analogía muy manida, pero muy útil: si el espacio-tiempo fuera una tela estirada y tensa y nosotros colocásemos una manzana sobre ella; la tela se curvaría. Pues eso exactamente es lo que ocurre.

El espacio-tiempo está deformado por la materia y energía que contiene. La gracia es que nada puede salirse de la sábana, con lo cual estamos condenados a movernos por esas deformaciones.

Veamos algunos ejemplos y consecuencias de esto:

Lentes gravitacionales

Uno de los fenómenos que pudieron explicarse fueron observaciones como estas:

Einstein Cross
Credit: ESA/Hubble & NASA

Como se puede ver, si miramos hacia un objeto masivo vemos que algunas estrellas del fondo están repetidos de forma simétrica. La explicación es que no son objetos que están realmente ahí, sino es un único objeto que se sitúa exactamente detrás de la estrella a la que miramos. La luz que proviene de la estrella que está detrás cae en la deformación y la trayectoria de la luz se curva porque el espacio es curvo y no tiene más remedio que viajar por él, haciendo que parezca que está en otro sito al salir de la deformación. En función de lo alineados que estemos con ésta deformación, veremos el objeto repetido varias veces o directamente formando un anillo:

Einstein Ring
Credit: ESA/Hubble & NASA

Órbitas

Ya sabemos que los planetas del Sistema Sola orbitan alrededor del Sol por atracción gravitatoria. Así nos lo dijo Newton y nuestros profesores en el colegio. Además, sus órbitas son las que son porque se han equilibrado en las que menos energía les requieren (todo en el universo tiende al estado de menor energía, que es el equilibrio).

Pero ahora sabemos que el Sol, mucho más masivo que los planetas, tiene necesariamente que deformar el espacio-tiempo. 

Si dibujáis una línea recta en un globo terráqueo entre Madrid y Los Ángeles (verde), si luego pudierais 'aplanar' ese globo terráqueo para convertirlo en un mapa en papel, veríais que vuestra línea recta no es tal:

Geodésicas
Credit: blog_geographica.com

Las líneas rectas en espacios curvos son curvas en espacios planos

¿Y si ahora os decimos que los planetas están siguiendo las trayectorias rectas menos energéticas en el espacio curvo debido a la deformación que el Sol provoca en el espacio-tiempo?

Tomaos un momento para comprender bien esto, porque acabamos de convertir la gravedad en algo opcional.

En efecto, la gravedad ahora es una fuerza que nos hemos inventado para poder explicar los movimientos de los planetas desde un sistema de referencia en el que el espacio es plano. Necesitamos la intervención de una fuerza para explicar por qué giran. Si asumimos que es curvo, el movimiento se explica solo, ya no nos hace falta ninguna fuerza. Es lo mismo que pasa con la fuerza centrífuga, que es necesaria si estamos montados en el tiovivo que gira e innecesaria si estamos fuera en reposo respecto del tiovivo.

¿Quiere decir ésto que Newton estaba equivocado? No necesariamente. Newton estaba estudiando el movimiento de los astros desde un sistema de referencia en el que no podía ver que el espacio-tiempo estaba deformado. Como hemos dicho al principio, la física es la misma, sus resultados sobre las órbitas y masas son correctos, aunque el camino para llegar a ellos ha sido diferente del nuestro hoy aquí.

                     La gravedad son deformaciones del espacio de Minkowski.

(Seguir leyendo la Parte III)

Luz, futuro y causalidad (Minkowski I)

Ya sabes que todo ocurre en un momento y lugar determinados. Lo que puede que no te hayas parado a pensar es que algo tan obvio a veces no es tan fácil de expresar de forma matemática.  Por suerte, tenemos la ayuda de Hermann Minkowski (1864-1909). 

El matemático, nacido en lo que hoy es Kaunas (Lituania), cursó sus estudios en Alemania y posteriormente  fue profesor de un joven Albert Einstein en Zúrich. En 1907 se percató de que todo el aparatejo matemático que había tras la Relatividad Especial podía entenderse más fácilmente si expresamos precisamente la idea de que todo tiene un momento y un lugar, de forma matemática. 

Normalmente para decir dónde se encuentra algo usamos coordenadas. Seguramente te suene de algo las palabras latitud y longitud, o hayas pasado alguna vez una ubicación de Google Maps y hayas visto esos números que indican las coordenadas. O quizás alguna vez hayas buscado un tesoro. En cualquier caso, hay muchos sistemas de coordenadas posibles, de manera que para decir donde se encuentra algo en un plano (es decir, dos dimensiones), nos basta con dos coordenadas que llamaremos x,y:

Sin embargo, si queremos decir dónde se encuentra algo en un volumen, en un espacio (es decir, tres dimensiones), ya necesitamos tres coordenadas, que aquí llamaremos x,y,z:

Ésto es lo que se llama sistema de coordenadas cartesianas. 

Ahora que tenemos perfectamente definido dónde se encuentra algo, nos queda definir cuándo ocurre, es decir, nos hace falta una coordenada más para el tiempo. De ésta forma se define lo que llamamos un Evento, que queda perfectamente definido si conocemos sus tres coordenadas espaciales y su coordenada temporal: 

Evento= E(x,y,z,t)

Como ves, ahora nos movemos en cuatro dimensiones. Este espacio matemático de eventos es un espacio tetradimensional en el que el espacio y el tiempo están íntimamente relacionados, y es lo que conocemos como Espacio de Minkowski o Espacio-tiempo, y es precisamente el espacio en el que vivimos. Esta representación matemática de la realidad ayudó a Einstein a desarrollar la Relatividad General, que fue uno de las grandes revoluciones científicas. 

Ahora que tenemos definido el espacio en el que vivimos, vamos a llenarlo de luz. Lamentablemente, nuestra mente diseñada tridimensionalmente no puede imaginar un espacio de 4 dimensiones, así que a partir de ahora vamos a proyectar esas cuatro dimensiones en el plano de un folio, de manera que lo que en la primera gráfica era la coordenada x, ahora representará el espacio (r), es decir, la composición de las tres coordenadas espaciales x, y, z; y lo que antes era la coordenada y, ahora será la coordenada temporal t. 
De ésta forma, podremos localizar un evento puntual (izquierda), o un evento que perdura en el tiempo en el mismo lugar (derecha) como por ejemplo, la existencia de un agujero negro, como podéis ver aquí:

Para terminar, así se representa un evento que perdura en el tiempo y además se desplaza a cierta velocidad constante (izquierda) o a velocidad variable (derecha) de esta forma:

Además, podemos definir la velocidad como la pendiente de la tangente a la trayectoria, de manera que una línea con un ángulo menor con el eje r significa que recorre más espacio en menos tiempo, por lo que su velocidad es mayor; y una línea que forma un ángulo mayor con el eje r recorre menos espacio en el mismo tiempo, es decir, su velocidad es menor.

Entonces, si nos situamos en un lugar y tiempo determinados (en el vacío) y emitimos un pulso de luz, éste se desplazará a una velocidad constante de  300000Km/s que denotamos c, en todas direcciones y expandiéndose conforme avanza, lo que da lugar a un cono.

Es lo que llamamos un cono de luz. Ahora sumaremos que la Relatividad nos dice que c es una velocidad límite, nada con masa puede ir más rápido que la velocidad de la luz en el vacío. Esto significa que, como tenemos masa, no podemos ir más rápido que la luz, es decir, no podemos salirnos de nuestro cono. 

Todos los futuros a los que podemos acceder se encuentran dentro de nuestro cono de luz.

Vamos a situarnos ahora en el Universo. Imaginemos una malla infinita de conos de luz, ya que en todas partes pueden ocurrir eventos coetáneos. Por ejemplo podemos tener a dos personas (nuestros ya conocidos Pepe y María), que nacen en momentos y lugares diferentes:

Cada uno de ellos tendrá su cono de luz, y no podrá salir de él porque no pueden viajar más rápido que la luz. Ni Pepe ni María pueden acceder a los posibles futuros que quedan fuera de sus respectivos conos, así que no pueden ejercer ninguna influencia en ellos, así que durante un tiempo no podrán conocerse. Sin embargo, hay un cierto tiempo a partir del cual sus conos de luz se solapan, lo que significa que hay futuros posibles a partir de ese tiempo en el que sí que pueden conocerse e influenciarse el uno al otro. 

Pongamos que el evento exacto en el que sus conos se encuentran es el cumpleaños de su amiga en común, Lola. Si ambos van al cumpleaños, se conocerán justo en ese punto. Sin embargo, si María no va, sino que se queda en su lugar de nacimiento, ya no podrán conocerse en el cumpleaños de Lola, sino que tendrá que pasar un poco más de tiempo para que se solapen sus conos de luz y puedan conocerse. 

Esto significa que hay futuros que nos están vetados y por tanto no podemos tener contacto causal con esos los eventos. Sin embargo, podemos pensar que sea lo que sea lo que hagan Pepe y María, si esperan el tiempo suficiente, en algún momento sus conos se solaparán y ellos podrán encontrarse. Aquí es donde entra en juego la expansión del Universo. Y es que el Universo se expande más rápido que la velocidad de la luz, lo que quiere decir que todo se aleja de todo tan rápido que hay lugares que nunca serán alcanzados por mi cono de luz, que nunca estarán en contacto causal. En todo el Universo ocurren eventos que nunca podrán conocerse en otros lugares determinados del mismo.

A veces si una palmera se cae en el desierto, por mucho que esperemos no podremos saber que se ha caído.

(Seguir leyendo la parte II)

La Vía Láctea de Vera Rubin

Vamos a hablar hoy un poco sobre la forma y cinemática de nuestra galaxia, la Vía Láctea. Para ello, vamos a introducir brevemente un concepto del que ya se dejó intuir algo aquí: metalicidad.

Ya dijimos que en el interior de las estrellas se producen todos los elementos más pesados que el hidrógeno y el helio. Lo que llamamos metalicidad de un gas es la proporción de elementos más pesados que el helio que éste contiene, respecto a la cantidad de hidrógeno, y lo simbolizamos como [Fe/H]. La metalicidad nos da mucha información sobre la edad de la zona, ya que una alta metalicidad indica más edad, puesto que se ha necesitado tiempo para que las estrellas produzcan todos esos elementos pesados.

Bien, ahora veamos qué forma tiene la Vía Láctea. Nuestra galaxia, como muchas otras, vista de perfil es casi como un disco plano, con las siguientes subestructuras:

• Bulbo central, en cuyo centro se encuentra el agujero negro supermasivo de unas 2,6 millones de masas solares, llamado Sagitario A

• Disco fino, que es donde se encuentran la inmensa mayoría de las estrellas.

• Disco grueso, donde las estrellas son más viejas, cuya metalicidad es  aproximadamente de -0.5

• Halo, que es una zona de muy baja densidad de estrellas y gas, el hogar de la mayoría de los cúmulos globulares. Como no hay zonas de formación y hay muy pocas estrellas, no nos sorprende que su metalicidad sea más baja que en el resto de la galaxia, en torno a  -1,5.

Bueno, ¿y por qué un disco, por qué no esférico como las estrellas? Pues porque la nube a partir de la que se empezó a formar la galaxia en su momento, estaría girando, entonces al colapsar por gravedad, se tiene que conservar el momento angular (la cantidad de giro del sistema) al igual que un patinador sobre hielo. Cuando gira y acerca sus brazos al cuerpo acelera, cuando los aleja gira más lento. Así, el gas empieza a acumularse cerca del eje de rotación, pero como la gravedad aprieta, termina cayendo y formando un disco, que es lo más cerca que puede estar del centro de masas.

Si la miramos desde arriba, nuestra galaxia pertenece a la familia de las galaxias espirales. Y es que el disco no es homogéneo, sino que las estrellas se agrupan formando unas estructuras que llamamos brazos. Los astrónomos Chia Chiao Lin y Frank Shu propusieron en 1960 que estas estructuras se deben a la propagación en el disco de una onda de densidad, es decir, una perturbación en la densidad del disco. Esta onda giraría también con respecto al centro galáctico, pero a una velocidad menor que lo hace el gas o las estrellas.

Así bien, sabemos que es un disco porque gira y sabemos que gira porque es un disco. Ambas partes de la oración tienen respaldos observacionales. Pero es que además, esa rotación es diferencial. Esto significa que la velocidad del giro varía con la distancia al centro galáctico:

En rojo tenemos la gráfica de la velocidad según la distancia al centro galáctico, que nos da mucha información:

Para empezar, podemos ver que las zonas muy cercanas al centro (bulbo), gira todo en bloque, como un sólido rígido, de ahí la primera parte recta y ascendente de la gráfica.

Conforme nos alejamos del centro galáctico, la velocidad empieza a decaer, lo que tiene sentido por lo que antes hemos comentado, a menor densidad (patinador con los brazos lejos del cuerpo), menor velocidad. 

Todo esto funciona hasta que seguimos mirando la gráfica y vemos que, ¡sorpresa!, la velocidad vuelve a aumentar cuando estamos muy lejos del centro de la galaxia. En efecto, la línea verde es lo que se esperaría. Entonces ¿qué está pasando aquí? Esa misma pregunta se hizo la física Vera Cooper Rubin en 1970. 

Ella comparó la gráfica anterior con ésta en la que se representa la intensidad luminosa con respecto a la distancia al centro de la galaxia.

Efectivamente, como se esperaba, cerca del centro la intensidad es muy alta, es decir, hay muchas estrellas y fuentes de luz, y conforme nos alejamos del centro, la galaxia es cada vez más oscura, porque está menos poblada.


Así pues, tenemos dos ideas clave:

• Por conservación del momento angular, las zonas más densas giran más rápido (el patinador con los brazos junto al cuerpo gira más rápido). 

• En la galaxia hay menos estrellas conforme nos alejamos del centro.

¿Cómo explicamos entonces ese aumento inesperado de la velocidad a grandes distancias del centro galáctico? Vera Rubin propuso una explicación muy sencilla y a la vez muy controvertida:

En los linderos de nuestra galaxia debe haber más materia de la que creíamos, materia que no emite y que no podemos ver. Materia oscura. 

Hoy en día, esta idea está más que asumida, y definimos la materia oscura como masa que no podemos ver, que no emite en ninguna parte del espectro ni reacciona ni interactúa de ninguna forma que conozcamos, excepto gravitacionalmente. Por eso, cuando vemos objetos que se mueven de una forma que no deberían o con una velocidad que no deberían y no somos capaces de detectar ningún otro cuerpo habitual que lo esté causando, la materia oscura entra en escena.